Exercice 1:
sans utiliser la calculatrice calculer
(frac{2019}{2020}+sqrt{frac{2019^{2}}{2020^{2}}+2019^{2}+1})
on pose x=2020
et A=(frac{2019}{2020}+sqrt{frac{2019^{2}}{2020^{2}}+2019^{2}+1})
(A=frac{x-1}{x}+sqrt{frac{(x-1)^{2}}{x^{2}}+(x-1)^{2}+1})
(=left(1-frac{1}{x}right)+sqrt{frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}}+x^{2}-2 x+1+1})
(=left(1-frac{1}{x}right)+sqrt{1-frac{2}{x}+frac{1}{x^{2}}+x^{2}-2 x+2})
(=left(1-frac{1}{x}right)+sqrt{left(x^{2}+frac{1}{x^{2}}+2right)-2left(x+frac{1}{x}right)+1})
(=left(1-frac{1}{x}right)+sqrt{left(x+frac{1}{x}-1right)^{2}})
(=1-frac{1}{x}+x+frac{1}{x}-1)
(=x=2020)
Exercice 2:
1-Préciser les nombres a,b et c tel que :
(2^{a} times 5^{b} times 7^{c}=700)
2-a)- trouve les chiffres « y » tel que:
le nombre 3y6 divisible par 4.
(exemple si y=1 le nombre sera 316)
b)- Ecrit tous les nombres trouver dans a).
c) préciser parmi les ceux qui sont divisible par 9.
1)
décomposition en produit de facteurs premiers du nombre 700:
➝ 700=2²x5²
➝ a-2=0 & b-2=0 & c-1=0
Donc: a=2, b=2 et c=1.
2)
a) un nombre est divisible par 4
lorsque les deux chiffres de droite forment
un nombre multiple de 4.
y=1 316 divisible par 4.
b) 3y6 divisible par 4
➝ y6 divisible par 4
➝ y=1,3,5,7,9
➝ les nombres qui sont divisible par 4 sont:
” 316,336,356,376 ”
c) un nombre est divisible par 9 lorsque la somme de ses chiffres est un nombre multiple de 9.
* pour 316
on a:
3+1+6=10 316 n’est divisible par 9
* pour 336
on a:
3+3+6=12 336 n’est divisible par 9
* pour 356
on a:
3+5+6=14 356 n’est divisible par 9
* pour 376 on a 3+7+6=16 376 n’est divisible par 9
Exercice 3:
x et y deux nombres réels positifs.
Tel que si x < y
Monter que:
(x<sqrt{x y}<y)
on a:
0< x < y ①
①×x
➝ 0<x྾x < x྾y
①×y
➝ 0<x×y < y²
donc: x²<xy < y²
Or (x>0 et y>0)
alors:
(x<sqrt{x y}<y)
Exercice 4:
On pose:
(A =frac{1}{2} times frac{3}{4} times frac{5}{6} times …times frac{99}{100})
(B =frac{2}{3} times frac{4}{5} times … times frac{98}{99})
a) Montrer que: (A<B).
b) Déduire que:
(A<frac{1}{10}<B)
a)
on a:
3྾1=3<2྾2=4
(frac{1}{2}<frac{2}{3})
de même pour
(frac{2}{3}<frac{3}{4})
.
.
(frac{97}{98}<frac{98}{99})
(frac{99}{100}<1)
Nous effectuons les produits
▶️ A<B
b)
On a:
A྾(2྾4྾….100)=(1྾3….྾99)①
et
B྾(3྾5྾….99)=(2྾4….྾98)②①྾② ➝ A྾B྾100= 1
➝ A྾B= 1/100
d’après question a) on a A<B *
( *×A)
➝ A² < AB=1/100
➝ A² < 1/100
➝ A < 1/10
d’autre part ( *×B):➝ AB=1/100 < B²
➝ 1/100 < B²
➝1/10<B
▶️ A<1/10<B
Exercice 5:
Montrer que
Si (frac{a}{4}=frac{b}{5}=frac{c}{3})
alors (frac{a-b+c}{a+b-c}=frac{1}{3})
On pose
(A =frac{a}{4}=frac{b}{5}=frac{c}{3}=k)
→ (a=4 k), (b=5 k) et (c=3 k)
→ (a+b-c=6 k)
→ (a-b+c=2 k)
Donc
(frac{a-b+c}{a+b-c}=frac{3k}{6k}=frac{1}{3})